Une probabilité traduit numériquement l'incertitude associée à un événement. Elle ne prédit pas ce qui arrivera à une personne donnée : elle décrit la fréquence attendue d'un résultat lorsque l'on répète une situation comparable un grand nombre de fois. En santé, ce langage permet notamment de raisonner sur un risque, un résultat biologique ou l'issue d'un test.

Ce cours construit ce langage pas à pas. Il part des événements, présente les règles de calcul indispensables, puis introduit le conditionnement, les arbres de probabilités et le théorème de Bayes. L'objectif est de savoir organiser des informations probabilistes simples et d'éviter les confusions les plus fréquentes.

Une expérience aléatoire est une situation dont on connaît les résultats possibles sans pouvoir prévoir avec certitude celui qui se réalisera. Le résultat observé est appelé une issue. L'ensemble de toutes les issues possibles forme l'univers, noté $\Omega$. Par exemple, si l'on observe le résultat d'un test pouvant être positif ou négatif, l'univers est $\Omega=\{\text{positif},\text{négatif}\}$.

Un événement est un ensemble d'issues. Il se réalise lorsque l'issue observée lui appartient. L'événement impossible est l'ensemble vide $\varnothing$, tandis que l'événement certain est l'univers $\Omega$. Le complémentaire de $A$, noté $A^c$, correspond à « $A$ ne se réalise pas ».

Lorsque deux événements sont étudiés ensemble, leur intersection $A\cap B$ signifie que $A$ et $B$ se réalisent simultanément. Leur union $A\cup B$ signifie qu'au moins l'un des deux se réalise. Deux événements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide : ils ne peuvent alors pas se produire en même temps.

Le diagramme aide à traduire une phrase en opération. « Le symptôme et le traitement » renvoie à l'intersection. « Le symptôme ou le traitement, éventuellement les deux » renvoie à l'union. « Le symptôme sans traitement » correspond à la partie de $A$ située hors de $B$.

La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est un nombre compris entre $0$ et $1$. Une probabilité proche de $0$ décrit un événement rare, tandis qu'une probabilité proche de $1$ décrit un événement fréquent. L'événement certain vérifie $P(\Omega)=1$ et l'événement impossible vérifie $P(\varnothing)=0$.

Le complémentaire permet souvent le calcul le plus rapide : $P(A^c)=1-P(A)$. Cette règle est particulièrement utile lorsqu'une question porte sur « au moins un » événement. Il est parfois plus simple de calculer la probabilité qu'aucun événement ne survienne, puis de prendre le complémentaire.

Pour l'union de deux événements, il faut éviter de compter deux fois leur intersection. La formule générale est $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, l'intersection est impossible et la formule devient simplement $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Une probabilité n'a pas d'unité. Elle peut être écrite sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage, mais les valeurs doivent être mises sous une forme commune avant un calcul. Ainsi, $0{,}25$, $1/4$ et $25\,\%$ désignent la même probabilité.

Une probabilité conditionnelle répond à une question posée dans un sous-groupe. La notation $P(A\mid B)$ se lit « probabilité de $A$ sachant $B$ ». Le fait de savoir que $B$ est réalisé réduit l'univers de référence aux seules issues appartenant à $B$.

Si $P(B)>0$, la définition est $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$. Au numérateur figurent les personnes qui vérifient simultanément $A$ et $B$. Au dénominateur figurent toutes les personnes qui vérifient $B$. L'ordre est donc essentiel : $P(A\mid B)$ et $P(B\mid A)$ ne répondent généralement pas à la même question.

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque la connaissance de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre. Cette propriété s'écrit $P(A\mid B)=P(A)$ lorsque $P(B)>0$, ou de manière équivalente $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. L'indépendance doit être vérifiée ou justifiée ; elle ne se déduit pas du simple fait que deux événements sont différents.

Des événements incompatibles ne sont presque jamais indépendants. S'ils sont incompatibles, $P(A\cap B)=0$. S'ils ont chacun une probabilité non nulle, le produit $P(A)P(B)$ est positif : l'égalité nécessaire à l'indépendance n'est donc pas satisfaite.

Un arbre de probabilités organise une expérience en plusieurs étapes. Les branches issues d'un même nœud représentent des événements incompatibles dont les probabilités s'additionnent à $1$. La probabilité d'un chemin complet s'obtient en multipliant les probabilités portées par ses branches.

La formule des probabilités totales additionne ensuite les chemins qui conduisent au même résultat. Si $B_1,\ldots,B_n$ forment une partition de l'univers, alors $P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)$. Chaque terme correspond à une manière distincte d'atteindre l'événement $A$.

Considérons une population composée de 60 % de patients à risque modéré et de 40 % de patients à risque élevé. La probabilité d'amélioration est de 80 % dans le premier groupe et de 50 % dans le second. L'arbre rend visibles les quatre chemins possibles et permet de calculer la probabilité globale d'amélioration.

La pondération par la proportion de chaque groupe est indispensable. Faire la moyenne simple de $80\,\%$ et $50\,\%$ donnerait $65\,\%$, mais ce calcul supposerait à tort que les deux groupes ont le même effectif.