De nombreuses grandeurs biologiques n'évoluent pas en ajoutant toujours la même quantité. Une population bactérienne peut augmenter d'un même pourcentage par unité de temps ; une concentration médicamenteuse peut perdre la même proportion à intervalles réguliers. Ces évolutions sont décrites par les fonctions exponentielles.

Le logarithme effectue le chemin inverse. Il permet de retrouver un temps dans une loi exponentielle et de comprimer des valeurs qui s'étendent sur plusieurs puissances de dix. C'est pourquoi il intervient dans le pH, les décibels et les dilutions.

La fonction exponentielle de base $e$ est notée $x\mapsto e^x$, avec $e\simeq 2{,}718$. Elle vérifie $e^0=1$ et reste strictement positive, quel que soit $x$. Elle transforme une addition en multiplication : $e^{a+b}=e^a e^b$. On en déduit notamment $e^{-a}=1/e^a$ et $e^{a-b}=e^a/e^b$.

Sa propriété essentielle en modélisation est que sa dérivée est égale à elle-même : $(e^x)'=e^x$. Pour une fonction du temps $f(t)=A e^{kt}$, on obtient $f'(t)=k f(t)$. La vitesse de variation est donc proportionnelle à la quantité présente. C'est précisément la situation décrite par un pourcentage de croissance ou de décroissance constant par unité de temps.

Si $A>0$, le signe de $k$ détermine le sens de variation. Lorsque $k>0$, $f'(t)>0$ et la quantité augmente ; lorsque $k<0$, $f'(t)<0$ et elle diminue. L'exposant $kt$ doit être sans unité : si $t$ est exprimé en heures, $k$ s'exprime en $\mathrm{h}^{-1}$.

Cette formule ne signifie pas que la quantité gagne ou perd un nombre constant d'unités. Entre $t$ et $t+\Delta t$, elle est multipliée par $e^{k\Delta t}$. Le changement relatif est donc le même pour des intervalles de temps de même durée.

Les deux courbes suivantes partent de la même valeur relative $1$. Elles rendent visible le rôle du signe de $k$ sans imposer de contexte biologique particulier.

La courbe croissante devient de plus en plus raide, car une même proportion s'applique à une quantité de plus en plus grande. La courbe décroissante perd au contraire des quantités absolues de plus en plus petites.

Le logarithme répond à une question inverse : à quelle puissance faut-il élever une base pour obtenir un nombre donné ? Le logarithme népérien, noté $\ln$, utilise la base $e$. Ainsi, $\ln(e^x)=x$ et, pour $x>0$, $e^{\ln(x)}=x$.

Le logarithme décimal, noté $\log_{10}$ ou souvent $\log$ sur les calculatrices, utilise la base $10$. Par exemple, $\log_{10}(1000)=3$ parce que $10^3=1000$. Sa fonction inverse est $x\mapsto 10^x$. Il faut vérifier la notation de la calculatrice : la touche ln correspond à la base $e$, tandis que la touche log correspond habituellement à la base $10$.

Dans les nombres réels, on ne peut prendre le logarithme que d'un nombre strictement positif. Les règles de calcul transforment les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits. Elles expliquent pourquoi les logarithmes simplifient les modèles multiplicatifs.

Les mêmes règles valent pour $\log_{10}$. Le changement de base relie les deux notations : $\log_{10}(x)=\ln(x)/\ln(10)$. Pour résoudre $Q=Q_0e^{kt}$, on écrit donc $\ln(Q/Q_0)=kt$, puis $t=\ln(Q/Q_0)/k$ lorsque $k\neq 0$.

$\ln(a+b)$ n'est pas égal à $\ln(a)+\ln(b)$. De plus, une formule comme $\ln(Q/Q_0)$ porte sur un rapport sans unité, et non sur une grandeur isolée exprimée en grammes ou en litres.

Une population bactérienne en phase de croissance exponentielle double à intervalles réguliers si les conditions restent stables. Si $T_d$ est le temps de doublement, le nombre de bactéries est multiplié par $2$ chaque fois que $t$ augmente de $T_d$. On peut écrire le même modèle avec une puissance de $2$ ou avec une exponentielle de base $e$.

Cette description n'est valable que pendant la phase exponentielle. Dans une culture réelle, les nutriments finissent par manquer et les déchets s'accumulent ; le modèle ne doit donc pas être prolongé indéfiniment. Il décrit une portion de l'évolution, pas toute la courbe de croissance bactérienne.

À l'inverse, une décroissance radioactive est caractérisée par une demi-vie $T_{1/2}$ : après chaque demi-vie, le nombre de noyaux non désintégrés est divisé par deux. Ici, on utilise uniquement cette loi mathématique et la notion de demi-vie ; les mécanismes physiques de la radioactivité relèvent d'un autre enseignement.

L'écriture en base $2$ est la plus intuitive pour compter des doublements ou des demi-vies. L'écriture en base $e$ devient utile pour dériver la fonction et pour relier la durée caractéristique à la constante $k$.

Voici un calcul bactérien guidé. Une culture contient initialement $500$ bactéries et double toutes les $30$ minutes pendant la phase exponentielle. On cherche l'effectif après $2$ heures.

Le calcul d'une décroissance suit la même démarche avec un exposant négatif. Si une quantité radioactive a une demi-vie de $6$ heures, il reste après $18$ heures $N_0\,2^{-18/6}=N_0/8$, soit $12{,}5\,\%$ de la quantité initiale. La constante de décroissance associée vaut $\lambda=\ln(2)/T_{1/2}$.

Une demi-vie constante signifie que la fraction de noyaux qui se désintègrent est constante par rapport au nombre de noyaux encore présents au début de chaque intervalle. Le nombre de désintégrations diminue : $N_0/2$ noyaux se désintègrent pendant la première demi-vie, puis $N_0/4$ pendant la deuxième, puis $N_0/8$ pendant la troisième.

Les concentrations en ions oxonium peuvent varier sur de nombreuses puissances de dix. Le pH les exprime sur une échelle plus compacte grâce au logarithme décimal négatif. Dans l'écriture simplifiée utilisée ici, $\mathrm{pH}=-\log_{10}([\mathrm{H_3O^+}])$.

La définition rigoureuse porte sur l'activité des ions oxonium, grandeur sans dimension. Dans une solution suffisamment diluée, on assimile cette activité à la concentration rapportée à la concentration standard de $1\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$. Cette approximation permet les calculs élémentaires sans développer la thermodynamique chimique.

Le signe moins inverse le sens de lecture : quand la concentration en ions oxonium augmente, le pH diminue. Une différence d'une unité de pH correspond à un facteur $10$ sur cette concentration ; une différence de $0{,}3$ correspond à un facteur $10^{0{,}3}\simeq 2$.

Pour garder un argument sans dimension, posons $c=[\mathrm{H_3O^+}]/(1\ \mathrm{mol\,L^{-1}})$. La formule devient $\mathrm{pH}=-\log_{10}(c)$, et sa relation inverse est $c=10^{-\mathrm{pH}}$. Le calcul suivant détaille les étapes pour une concentration de $2{,}5\times10^{-7}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$.

À l'inverse, un pH de $7{,}40$ correspond, dans la même approximation, à $[\mathrm{H_3O^+}]\simeq10^{-7{,}40}=4{,}0\times10^{-8}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}$. Comparer des pH demande donc de comparer des rapports, pas de simples écarts de concentration.