Une fonction permet de décrire comment une grandeur dépend d'une autre. En médecine, la concentration d'un médicament dépend du temps, le volume d'un organe peut dépendre de l'âge et la vitesse de croissance d'une population cellulaire dépend de l'instant où on l'observe. Les outils de ce cours servent à lire ces dépendances, à mesurer leurs variations et à calculer une quantité accumulée.

Deux idées guideront tout le chapitre. La dérivée mesure une variation instantanée : elle répond à la question « à quelle vitesse la grandeur change-t-elle ici ? ». L'intégrale additionne de très petites contributions : elle répond à la question « quelle quantité totale s'est accumulée sur cet intervalle ? ».

Une fonction réelle $f$ associe à chaque nombre $x$ autorisé un unique nombre noté $f(x)$. Le nombre $x$ est la variable, et $f(x)$ est l'image de $x$. Avant tout calcul, il faut déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression a un sens : leur ensemble forme le domaine de définition.

Certaines fonctions sont définies pour tout réel. C'est le cas de $f(x)=x^2-3x+1$. D'autres imposent une restriction. Pour $g(x)=\sqrt{x-2}$, il faut $x-2\geq 0$, donc le domaine est $[2\,;\,+\infty[$. Pour $h(x)=\dfrac{1}{x-2}$, le dénominateur ne doit pas être nul : le domaine est $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Une fonction est continue en $a$ si sa courbe peut être suivie au voisinage de $a$ sans saut ni trou. Lorsque $a$ est un point intérieur du domaine, cela signifie que les valeurs $f(x)$ se rapprochent de $f(a)$ à la fois par la gauche et par la droite. Si $a$ est une borne du domaine, on ne considère que la limite du côté qui appartient au domaine. La limite décrit ainsi la valeur approchée, sans exiger que $x$ atteigne $a$.

Pour un point intérieur, cette égalité réunit donc trois informations : $f(a)$ existe, la limite bilatérale existe, et elles sont égales. À une borne du domaine, on remplace la limite bilatérale par la limite venant du domaine. Par exemple, pour $g(x)=\sqrt{x-2}$ sur $[2\,;\,+\infty[$, la continuité en $2$ se vérifie avec $\lim_{x\to 2^+}g(x)=g(2)=0$. En revanche, $h(x)=1/(x-2)$ n'est même pas définie en $2$.

La notation $x\to a^-$ signifie que $x$ s'approche de $a$ par des valeurs plus petites ; $x\to a^+$ signifie qu'il s'en approche par des valeurs plus grandes. À un point intérieur du domaine, une limite bilatérale en $a$ n'existe que si les deux limites latérales existent et sont égales. À une borne, seule la limite prise depuis le côté du domaine est pertinente. Cette distinction est indispensable près d'une borne, d'une valeur interdite ou d'un saut.

Une limite peut aussi décrire le comportement très loin de l'origine. Écrire $\lim_{x\to +\infty}f(x)=L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ lorsque $x$ devient arbitrairement grand. À l'inverse, écrire $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ signifie que $f(x)$ dépasse toute borne lorsque $x$ approche $a$ ; $+\infty$ décrit alors un comportement, pas une valeur réelle prise par la fonction.

La fonction inverse montre pourquoi les deux côtés d'un point doivent parfois être étudiés séparément. Son graphe est volontairement tracé en deux branches, car $x=0$ n'appartient pas à son domaine.

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On lit ainsi $\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty$ et $\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$. Les deux limites latérales étant différentes, il n'existe pas de limite unique en $0$. En revanche, $\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$ et $\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1}{x}=0$.

Une formule correcte ne suffit pas : avant une limite, une dérivée ou une intégrale, vérifiez toujours les valeurs interdites et l'intervalle étudié.

Entre deux instants $t_1$ et $t_2$, le taux de variation moyen d'une grandeur $f(t)$ vaut $\dfrac{f(t_2)-f(t_1)}{t_2-t_1}$. Il mesure la variation de $f$ par unité de temps sur tout l'intervalle. Pour connaître la vitesse à un instant précis, on rapproche les deux instants jusqu'à rendre leur écart aussi petit que l'on veut.

La dérivée de $f$ en $a$, notée $f'(a)$, est la limite de ces taux de variation. Elle n'existe que si cette limite est finie et identique des deux côtés. Une fonction dérivable en $a$ est nécessairement continue en $a$, mais une fonction continue peut ne pas être dérivable : la fonction $f(x)=|x|$ est continue en $0$, mais sa courbe y présente un angle.

L'unité de la dérivée se déduit toujours des axes. Si $V(t)$ est un volume en $\text{cm}^3$ et $t$ un temps en jours, alors $V'(t)$ s'exprime en $\text{cm}^3/\text{jour}$. La dérivée n'a donc pas toujours la même unité que la fonction.

Cette définition donne le sens de la dérivée. En pratique, on utilise des formules établies à partir de cette limite.

Par linéarité, la dérivée d'une somme est la somme des dérivées et une constante multiplicative est conservée : $(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'$. Ainsi, si $p(x)=3x^2-5x+7$, alors $p'(x)=6x-5$.

Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$, les règles essentielles sont :

$$(uv)'=u'v+uv',$$ $$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \quad\text{si }v\neq 0,$$ $$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\,g'(x).$$

La dernière formule est la règle de la chaîne. Elle s'applique lorsque la variable est engagée dans plusieurs niveaux de calcul. On dérive d'abord la fonction extérieure, en conservant l'expression intérieure, puis on multiplie par la dérivée de cette expression intérieure.

Le résultat contient donc deux contributions : la sensibilité de la fonction extérieure et la vitesse de variation de son entrée. Pour un produit, les deux facteurs contribuent de même : si $u(x)=x^2$ et $v(x)=x+1$, alors $(uv)'=2x(x+1)+x^2$. Pour un quotient, il faut en plus conserver la condition $v(x)\neq 0$.

Le signe de $f'(x)$ indique le sens de variation de $f$. Lorsque $f'(x)>0$ sur un intervalle, la fonction y est croissante. Lorsque $f'(x)<0$, elle y est décroissante. Si $f'(x)=0$ sur tout un intervalle, la fonction y est constante.

Un point critique intérieur est un point du domaine où $f'(x)=0$ ou bien où $f'$ n'existe pas. Ce n'est pas automatiquement un extremum. Lorsque la dérivée existe de part et d'autre, son changement de signe permet de conclure : de positif à négatif, on obtient un maximum local ; de négatif à positif, un minimum local. Un extremum peut aussi se trouver en un point non dérivable, comme le minimum de $|x|$ en $0$.

Pour rechercher les extrema globaux d'une fonction continue sur un intervalle fermé $[a\,;\,b]$, il faut également examiner les deux bornes. On calcule la valeur de la fonction aux points critiques intérieurs et aux bornes, puis on compare toutes ces valeurs : la plus grande donne le maximum global et la plus petite le minimum global.

La dérivée donne aussi la pente de la tangente. Au voisinage de $x=a$, la courbe ressemble à la droite qui passe par $(a,f(a))$ et dont la pente vaut $f'(a)$. Cette approximation locale est utile pour comprendre le comportement immédiat d'une fonction.

Considérons $f(x)=-x^2+4x+1$. Sa dérivée est $f'(x)=-2x+4$. Elle est positive pour $x<2$, nulle en $2$ et négative pour $x>2$. Toutes les informations du tableau suivant sont fournies explicitement à partir de ce calcul.

La fonction croît jusqu'à $x=2$, atteint la valeur $f(2)=5$, puis décroît. Elle possède donc un maximum en $x=2$. Le tableau résume un raisonnement déjà effectué ; il ne remplace ni le calcul de $f'$ ni l'étude de son signe.

L'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Pour la même fonction au point $a=1$, on a $f(1)=4$ et $f'(1)=2$. La tangente est donc $y=4+2(x-1)=2x+2$. Le graphe permet de voir que cette droite touche la courbe en $(1,4)$ et partage localement sa direction.

L'accord entre la courbe et la droite n'est que local : en s'éloignant de $x=1$, la parabole se courbe tandis que la tangente reste droite. La dérivée décrit donc fidèlement une tendance instantanée, pas toute l'évolution future.

Calculez $f'$ là où elle existe, repérez ses zéros, les points non dérivables, les valeurs interdites et les bornes, puis étudiez son signe sur chaque intervalle. Pour des extrema globaux sur $[a\,;\,b]$, comparez les valeurs de $f$ aux points critiques et aux bornes.

La dérivation part d'une fonction pour obtenir sa vitesse de variation. Chercher une primitive consiste à faire le chemin inverse : une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle si $F'(x)=f(x)$ sur cet intervalle.

Une primitive n'est jamais unique. Si $F'(x)=f(x)$, alors $(F(x)+C)'=f(x)$ pour toute constante réelle $C$. On écrit donc $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ pour l'ensemble des primitives. Par exemple, les primitives de $2x$ sont $x^2+C$.

L'intégrale définie $\int_a^b f(x)\,dx$ est, elle, un nombre. Elle mesure une accumulation entre $a$ et $b$. Géométriquement, elle correspond à une aire algébrique : les zones où $f(x)>0$ comptent positivement et celles où $f(x)<0$ comptent négativement.

Le théorème fondamental de l'analyse relie primitive et intégrale définie. Il transforme un problème d'accumulation en calcul aux bornes.

La constante $C$ disparaît dans une intégrale définie, car $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$. Il suffit donc de choisir une primitive, sans chercher une constante particulière.

Ici, intégrale et aire géométrique coïncident parce que la fonction reste positive. Si une courbe traverse l'axe horizontal, il faut découper l'intervalle aux points où $f$ change de signe. L'aire géométrique totale se calcule alors en additionnant des aires positives, ce qui revient à intégrer $|f(x)|$.

Les unités se multiplient. Si $f(t)$ est un débit en $\text{mL}/\text{min}$ et $t$ un temps en minutes, alors $\int_a^b f(t)\,dt$ est un volume en mL. Cette vérification d'unité permet souvent de repérer une interprétation erronée.